仮説検定とは|帰無仮説や対立仮説から検定の方法を分かりやすく解説

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連載講座「0から学ぶ確率統計」では、中学数学の基本的な内容から大学レベルの確率統計を解説しています。

統計やデータサイエンスに興味がある方はぜひご覧ください。

第12章では、「仮説検定」について解説します。

検定で登場する「帰無仮説」や「対立仮説」「有意水準」などの用語や検定の手順を具体例を用いながら解説しています。

初学者も理解しやすいように丁寧に解説しているので、ぜひ最後までご覧ください。

仮説検定の基本用語

「仮説検定とは何か」そして、仮説検定で登場する基本的な用語について解説します。

仮説検定

仮説検定は、単に「検定」と呼ぶこともあるので注意しましょう。

具体例を見て、仮説検定のイメージを掴みましょう。

感覚的には、

と判断するでしょう。

しかし、理論上「コインは歪んでいないが、偶然10回中9回表が出た」という可能性もあり得ます。

仮説検定では、確率論を用いて「コインAに歪みがあるか」を判断します。

実際に、この例題で仮説検定を簡単に行なってみましょう。

「コインが歪んでいない(p = 0.5)」と仮定したとき、コインが10回中9回表の出る確率\(f(\scriptsize 9)\)は

$$
f(\scriptsize 9) = {}_{10} C_9 \times ({\scriptsize 0.5})^{{\scriptsize 9}}({\scriptsize 0.5})^{{\scriptsize 1}} = {\scriptsize 0.0098}
$$

より極端な事象であるコインが10回中10回表の出る確率\(f(\scriptsize 10)\)は

$$
f(\scriptsize 10) = (\scriptsize 0.5)^{\scriptsize 10} = 0.0009
$$

と計算できます。

よって、コインを10回投げたとき、9回あるいは10回表が出る確率Pは

$$
P = f({\scriptsize 9}) + f({\scriptsize 10}) = \scriptsize 0.0107
$$

となります。

すなわち、「コインが歪んでいない(p = 0.5)」と仮定した場合、コインを10回投げたとき、9回あるいは10回表が出る確率は「約1%」です。

「1%」を起こり得る確率と判断すれば「コインは歪んでいるとは言えない」と判断します。

逆に、「1%」が非常に稀であり現実的に起こり得ないと判断すれば「コインは歪んでいる」と判断します。

この基準の設定については「有意水準」という用語の紹介で説明します。

帰無仮説

先ほどの問題の場合、「コインが歪んでいる(p≠ 0.5)」と証明しようとしているので、帰無仮説は「コインが歪んでいない(p = 0.5)」とします。

対立仮説

先ほどの問題の場合、対立仮説は「コインが歪んでいる(p≠ 0.5)」とします。

と疑問に思った方も多いのではないでしょうか。

これは、一般に科学的エビデンスを得る際に「〇〇ではない」という仮説を棄却することで理論を構築することが由来しています。

例えば、「水は100度で沸騰する」という仮説を立てたとします。

平地のどんな場所でも、水が100度で沸騰するという実験結果が得られるでしょう。

しかし、富士山(標高が高い場所)で実験を行うと、「88度で沸騰する」という実験結果が得られます。

この実験結果から「水は100度で沸騰する」という仮説は棄却され、新たに「気圧によって水の沸点が変化する」といった仮説を立てるでしょう。

このように、科学的エビデンスは実験結果に応じて当初の仮説を棄却し、新たな仮説を立ててそれを証明しようとすることで構築されていきます。

仮説を支持するためのデータはいくらあってもキリがないですが、仮説を棄却するデータは一つで十分です。

これを踏まえて、仮説検定では「帰無仮説(証明したい仮説でない)を棄却する」というダブルネガティブな手法を取ります。

参考：https://www.amed.go.jp/content/000034155.pdf

p値

p値は、確率を表す英単語「Probability」に由来しています。

「仮説検定の例」でp値について確認してみましょう。

標本データは、「コインAを10回投げたとき、9回表が出た」という結果が得られました。

しかし、コインが歪んでいない(p = 0.5)のであれば、表が出る回数は10回中5回程度になるはずです。

したがって、実際に観測された「10回中9回表が出る事象」と仮説からさらに外れた「10回中10回表が出る事象」が起こる確率Pをp値として計算しました。

有意水準

言い換えると、標本データから得られるp値が「ある確率」以下の時、確率的にあり得ない状態とみなし、「ある確率」が有意水準にあたります。

有意水準は「α」で表されることが多く、1%, 5%, 10%が主流となっています。

有意水準「α = 0.05」と設定した場合は、p値が0.05を下回った時、確率的にあり得ない状態とみなし、帰無仮説を棄却します。

逆に、p値が0.05を上回った時、確率的に起こり得る事象だと考え、帰無仮説を受容します。

有意水準は多くの場合「α = 0.05」と設定しますが、データが十分に集まったり、間違いが許されなかったりする場面ではより小さい値を設定します。