【相関分析】相関係数と共分散をExcelを用いて解説！

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第7章からは、統計分野に踏み込んで、実際にデータ分析について触れていきます！

統計・数学が苦手な人でも理解できるように心がけて説明していきますので、是非ついてきてください！

本章では、統計学に基づいたデータ分析の先駆けとして、共分散と相関係数について解説します！

高校の数学Ⅰで習う範囲なので、忘れかけた記憶を呼び起こしながら読んでいって下さい！

以下の記事では、「共分散」「相関係数」についてより詳しく解説しています。

【相関係数の全て】求め方や注意点、因果関係との違いを徹底解説 前のページ|次のページ 本連載講座「0から学ぶ確率統計」では、中学数学の基本的な内容から大学レベルの確率統計を解説していま...

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共分散と相関係数の意味

今回紹介する、共分散と相関係数を理解する為に、まず、分散と標準偏差について触れていきましょう！

分散と標準偏差の意味

あるデータを考えた時に、そのデータの平均との距離を偏差といい、以下で計算できます。

偏差＝データ値ー平均

そして、この偏差の平均を取る事でデータのばらつき具合を調べようとするのが、分散と標準偏差です。

あるデータの集まり\(\{x_{1}, x_{2}, \cdots , x_{n}\}\)とその平均\(\bar{x}\)に関して、偏差の2乗平均を取ったものを分散と言い、これを\(S^{\scriptsize{2}}\)として、以下の計算式で表す事が出来ます。

\[S^{\scriptsize{2}}=\frac{\text{各データの偏差の2乗}}{\text{データ数}}=\frac{(x_{1}-\bar{x})^{2}+(x_{2}-\bar{x})^{2}+\cdots+(x_{n}-\bar{x})^{2}}{n}\]

更に、分散の平方根を取ったものを標準偏差といい、これを\(\sigma\)として、以下の式で表す事が出来ます。

\[\sigma=S=\sqrt{S^{\scriptsize{2}}}\]

分散と標準偏差の大きな違いは、元の単位が保存されるか否かにあります。

例えば、身長のデータ(単位:\(cm\))について分散と標準偏差を考えると、分散の単位は\(cm^{2}\)、標準偏差の単位は\(cm\)となります。

分散と標準偏差について詳しく知りたい方は、次の平均・分散とは？基本統計量を分かりやすく解説！をチェックしてみて下さい！

平均・分散とは？基本統計量を分かりやすく解説！ 次のページ 本連載講座「0から学ぶ確率統計」では、中学数学の基本的な内容から大学レベルの確率統計を解説しています。 ...

共分散の意味

2次元データにおいて、2つの属性（データ）の関係を相関関係と言います。

この時、下図（左）の様に、全体的に右肩上がり（全体的な方向の傾きが正）の関係を正の相関、下図（右）の様に、全体的に右肩下がり（全体的な方向の傾きが負）の関係を負の相関と言います。

この時、データに正の相関があるのか、負の相関があるのかを表すのが、共分散です。

ここで、共分散（＝Covariance）は、Cov(x,y)で表され、2次元データ\((x,y)=(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)\)の偏差の平均として、以下の式で定義されます。

\begin{equation}
\begin{split}
Cov(x,y)
&=\frac{\text{xの偏差}\times\text{ｙの偏差}}{\text{データ数}} \\
&=\frac{(x_{1}-\bar{x})\times(y_{1}-\bar{y})+\cdots+(x_{n}-\bar{x})\times(y_{n}-\bar{y})}{n}
\end{split}
\end{equation}

この式について、

\( \text{「} x_n-\bar{x} \: >0 \text{かつ} y_n-\bar{y} \: >0 \text{」} \text{もしくは「}x_n-\bar{x} \: >0 \text{かつ}y_n-\bar{y} \: >0 \text{」} \)
\( \text{の時、} Cov(x,y)>0 \)

\( \text{「} x_n-\bar{x} \: >0 \text{かつ} y_n-\bar{y} \: <0 \text{」} \text{もしくは「}x_n-\bar{x} \: <0 \text{かつ}y_n-\bar{y} \: >0 \text{」} \)
\(\text{の時、} Cov(x,y)<0 \)

となり、これは以下の図から、共分散が正なら、灰色部分に属するデータが多いため正の相関が、共分散が負なら、白色部分に属するデータが多いため負の相関があることが分かります。

相関係数

共分散は、その値に単位を含む為に、相関の強さを推し量ることが出来ないのでした。

これに対して、単位を消去する事で相関の強さを-1から1までの数値で表したものが相関係数です。

ここで、相関係数(Correlation)は、その英語のrを取って、ギリシャ文字の\(\rho(x,y)\)で表され、2次元データ\((x,y)=(x_1,y_1),\cdots,(x_n,y_n)\)に対して、共分散をxの標準偏差とyの標準偏差で割った値として、以下の式で定義されます。

\[\rho(x,y)=\frac{\text{ｘとyの共分散}}{\text{ｘの標準偏差} \times \text{yの標準偏差}}=\frac{Cov(x,y)}{\sigma(x) \sigma(y)}\]

この時、相関係数の正負は共分散によって決まります。

また、定義式より、単位が消去されるため、以下の図の様に、相関の強さを数値で評価する事が出来ます。

 

共分散と相関係数のExcel関数を用いた算出方法

ではついに、これらの値をExcelで算出していきましょう！

まずは、分散と標準偏差からです。

分散と標準偏差の算出方法

まず、Excelにおける、分散の関数は、以下の様になります。

これを用いて、T小学校の小学3年生の男子の身長の分散を算出してみましょう！

すると、下図の様に、分散の値が86.95である事が瞬時に計算できます。

次に、Excelにおける、標準偏差の関数は、以下の様になります。

これを用いて今度は、T小学校の小学3年生の女子の身長の標準偏差を算出してみましょう！

すると、下図の様に、標準偏差の値が約8.25である事が瞬時に計算できます。

共分散の算出方法

では、今度は共分散の値をExcelで算出していきましょう！

Excelにおける、共分散の関数は、以下の様になります。

これを用いて、E公立幼稚園の世帯年収に対する学習費総額の共分散を算出してみましょう！

すると、以下の様に共分散の値が約6674.73である事が簡単に計算できます。

相関係数の算出方法

同様にして、相関係数の値もExcelで算出していきましょう！

Excelにおける、相関係数の関数は、以下の様になります。

※ここではPが入らない事に注意しましょう！

これを用いて、E公立幼稚園の世帯年収に対する学習費総額の相関係数を算出してみましょう！

すると、以下の様に相関係数の値が約0.83である事が簡単に計算できます。

共分散と相関係数のデータ分析ツールを用いた算出方法

Excelを用いたデータ分析の方法には、関数の他にも、データ分析ツールというものがあります。

これを用いると、求めたい統計値等を一瞬で計算する事が出来ます。

しかし、Excelの初期設定では、このデータ分析ツールは表示されていない為、WindowsとMacについてそれぞれ、これから一緒に設定していきましょう！

データ分析ツールの設定方法 (Windowsの場合)

Windowsでデータ分析ツールを設定するにはまず、①「ファイル」タブ→（その他→）オプションをクリックします。次に、②「アドイン」から、③「設定」をクリックします。

更に、④「分析ツール」にチェックを入れて、⑤「OK」をクリックします。

すると、以下の様に、データツールにデータ分析ツールが追加されます！

データ分析ツールの設定方法 (Macの場合)

同様にして、Macの場合のデータ分析ツールの追加方法も説明していきます。

と言っても、Macの場合は、非常に簡単です。

まず。①画面上部の「ツール」タブから、②「Excelアドイン」をクリックします。

次に、③「分析ツール」にチェックを入れて「OK」を押すだけです。

データ分析ツールを用いた共分散と相関係数の算出方法

では、今設定したデータ分析ツールを用いて、共分散を算出してみましょう！

まず、①「データ」タブから、②「データ分析」をクリックして、③「共分散」を選択し、④「OK」をクリックします。

次に、⑤各項目にセルの範囲を入力して、「OK」を押します。
なおここでは、A列（収入）とB列（学業費）のセルを全て選択して、「先頭行をラベルとして使用」にチェックを入れ、出力先を共分散を求めたすぐ下に設定しています。

すると、以下の様に、収入と学業費の分散及び、共分散の値がまとめて出力されます。
※”収入”と”収入”の共分散は”収入の分散”になります。

同様にして、相関係数の値も算出していきましょう！

①「データ」タブから、②「データ分析」をクリックして、③「相関」を選択し、④「OK」をクリックします。

次に、⑤各項目にセルの範囲を入力して、「OK」を押します。
なおここでも、A列（収入）とB列（学業費）のセルを全て選択して、「先頭行をラベルとして使用」にチェックを入れ、出力先を相関係数を求めたすぐ下に設定しています。

すると、以下の様に、収入と学業費相関係数の値がまとめて出力されます。

また、上の画像から、共分散と相関係数に関して関数による計算結果と一致している事が確認できます。

是非自分にやりやすい方を選んで、使ってください！

相関分析をやってみよう！

では実際にExcelファイル内の、2000年から2020年の日本人の総人口の推移のデータを用いて、自己相関分析をやってみましょう！

自己相関分析とは

日本の総人口の様に、同一の観測対象に対して時間を追って観測したデータを時系列データと言います。

この時系列データの分析には主に、ある時点でのデータとその数年後におけるデータを比較する、自己相関分析が用いられます。

この自己相関とは、元データと時間をずらしたデータとの相関の事で、前年度との相関を求める事で、未来の遷移を予測する事が出来ます。

例えば、2000年から2010年までの日本の総人口のデータと、2年ずらして、2002年から2012年までの日本の総人口のデータの相関をラグ2の自己相関係数といい、これを求める事を自己相関分析と言います。

自己相関分析を用いた時系列データ分析

今回は、国勢調査による、2000年から2020年の日本人の総人口の推移のデータについて、自己相関分析を行っていきます。

データの個数をそろえる点に注意して、まずは実際に自分でやってみましょう！

まとめ

今回のExcelによる統計解析講座第7章では、共分散と相関係数及び、そのExcelでの使い方について解説してきました。

今回から一気に統計分野の学習に足を踏み入れたこともあり、難しいと感じた方や、戸惑った方もいると思います。

しかし、今回から始まる統計分野の学習はデータ分析には不可欠で、非常に役立つ部分なので、理解出来るまで何回も読み直して欲しいです！

また、データ分析ツールに関しても、非常に便利な機能である為、設定して頂くのが良いと思います。

次章では、仮説検定に触れる前段階として、統計の基礎となる、確率分布、標本調査や、正規分布について学習していきます！

統計学及びデータ分析を学ぶ上で、避けては通れない道なので、是非読んでみて欲しいです！

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