【カイ2乗検定】適合・独立？|概要・やり方を分かりやすく解説

前のページ|次のページ

連載講座「0から学ぶ確率統計」では、中学数学の基本的な内容から大学レベルの確率統計を解説しています。

統計やデータサイエンスに興味がある方はぜひご覧ください。

第17章では、「カイ二乗検定」について解説します。

初学者も理解しやすいように丁寧に解説しているので、ぜひ最後までご覧ください。

必要な知識は「区間推定」と「仮説検定」で解説しているので、まだ学習していない方は先にそちらの記事をご覧ください。

カイ二乗分布とは

本記事では、カイ二乗分布を用いた検定について解説していきます。

カイ二乗分布は以下の確率密度関数で表される確率分布の一種です。

\[ f_n(x) = \begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{n}{2}} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)} x^{\frac{n}{2}-1} e^{-\frac{x}{2}} & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x \leq 0 \end{cases} \]

上式は自由度\(n\)の場合の式です。

グラフは以下のようになります。

適合度の検定

まずは適合度の検定について解説します。

例えば、日本全体における血液型の人数比はA型が40%、O型が30%、B型が20%、AB型が10%であると言われています。

ある集団における血液型の人数比がこれに一致(適合)しているかどうかを、カイ二乗分布を用いて検定することができます。

このとき、比較対象となる元の確率分布、すなわち日本全体における血液型の人数比は既知であるということに注意してください。

期待度数・観測度数

検定に必要な用語である『観測度数』と『期待度数』について説明します。

例えば血液型の例において、それぞれの用語が表す対象は以下のようになります。

100人のクラスにおいてA型が50人、O型が25人、B型が15人、AB型が10人いた場合、それぞれの値は以下のようになります。

カイ二乗分布に従う変数

母集団において、

とします。

\(N\)が十分大きいとき、以下の式で表される\(X\)は自由度\(n-1\)のカイ二乗分布に従います。

$$
X=\frac{(x_1-p_1N)^2}{p_1N}+\frac{(x_2-p_2N)^2}{p_2N}+\cdots+\frac{(x_n-p_nN)^2}{p_nN}
$$

この\(X\)を用いて適合度の検定を行っていきます。

各項において、\(x_i\)が観測度数、\(p_iN\)が期待度数を表すことに注意すると理解しやすいと思います。

適合度の検定の流れ

それでは実際に適合度の検定を行ってみましょう。

仮説検定は以下の手順で進めます。

「帰無仮説を真とする」気持ちは

という展開を狙っています。

適合度の検定において、帰無仮説\(H_0\)および対立仮説\(H_1\)はそれぞれ以下のようになります。

• 帰無仮説\(H_0\)：各カテゴリーに属する確率は\(P(A_i)=p_i\)である
• 対立仮説\(H_1\)：各カテゴリーに属する確率は\(P(A_i)=p_i\)ではない

今回の場合、帰無仮説\(H_0\)は『学生のうちA型、O型、B型、AB型に属する人の割合がそれぞれ40%、30%、20%、10％である』と言い換えることができます。

A,O,B,AB型に属する確率をそれぞれ\(p_a\), \(p_o\), \(p_b\), \(p_{ab}\)とします。

帰無仮説を真とするため、\(p_a=0.4\), \(p_o=0.3\), \(p_b=0.2\), \(p_{ab}=0.1\)の元で進めていきます。

先ほど述べた通り、

$$
X=\frac{(x_1-p_1N)^2}{p_1N}+\frac{(x_2-p_2N)^2}{p_2N}+\cdots+\frac{(x_n-p_nN)^2}{p_nN}
$$

で表される\(X\)は自由度3(\(=n-1\))のカイ二乗分布に従うとみなすことができます。

今回は問題文で、有意水準αが

$$ \alpha = 0.05 $$

と定められています。

実際の業務や研究で行う場合は、データ数や状況に応じて適切に設定しましょう。

適合度の検定の場合、期待度数と観測度数が一致した時\(X=0\)となり、両者のずれが大きいほど\(X\)の値は大きくなります。

よって、片側検定を行うことになります。

自由度3のカイ二乗分布における上側5%の点を調べると、

$$ k=7.81 $$

と分かります。

よって、棄却域は

$$ X \geq 7.81 $$

となります。

標本データより、

$$
\begin{align*}
X&=\frac{(x_a-p_aN)^2}{p_aN}+\frac{(x_o-p_oN)^2}{p_oN}+\frac{(x_b-p_bN)^2}{p_bN}+\frac{(x_{ab}-p_{ab}N)^2}{p_{ab}N}
\\ &=\frac{(50-0.4 \cdot 100)^2}{0.4 \cdot 100}+\frac{(25-0.3 \cdot 100)^2}{0.3 \cdot 100}+\frac{(15-0.2 \cdot 100)^2}{0.2 \cdot 100}+\frac{(10-0.1 \cdot 100)^2}{0.1 \cdot 100}
\\ &= 4.583…
\end{align*}
$$

であり、これは7.81より小さい値になっています。

よって帰無仮説を受容し、有意水準5%のもとで

『この学生グループの血液型の分布は日本全体の血液型の分布と一致していないとは言えない』

という結論が得られました。

独立性の検定

先ほど紹介した適合度の検定を利用して、2つの性質に関する独立性の検定を行うことができます。

分割表とは

独立性の検定を行う際は、『分割表』と呼ばれる表を用いると便利です。

分割表とは、2つの性質におけるカテゴリーごとの個体数を表形式でまとめたものです。

上の例では、『喫煙者か』・『性別』という2つの性質それぞれに2つずつのカテゴリーが存在しています。

適合度の検定の利用

母集団において、

とします。

また、カテゴリー\(A_i\)、\(B_j\)に属する確率がそれぞれ\(p_i\)、\(q_j\)であるとします。

このとき性質AとBが独立なら、\(A_i\)かつ\(B_j\)に属する確率は\(p_iq_j\)となります。

よって、\(A_i\)かつ\(B_j\)に属する個体の観測度数を\(x_{ij}\)とすると、

$$ X=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{(x_{ij}-p_iq_jN)^2}{p_iq_jN} $$

は自由度\(mn-1\)のカイ二乗分布に従います。

これを用いて、2つの性質の独立性を検定することができます。

ただ、実際の検定においては期待度数が不明な場合がほとんどです。

したがって、標本の値から期待度数を推定する必要があります。

上表の\(A_1\)かつ\(B_1\)のセルに注目してください。

このセルに該当する期待度数は\(p_1q_1N\)ですが、このままだと具体的な値が分かりません。

そこで、\(p_1\)を\(a_i\)で、\(q_j\)を\(b_j\)で置き換えることで期待度数を推定します。

\(p_1q_1N=(a_1/N)(b_1/N)N=a_1b_1/N\)

と推定できますね。

これをすべてのセルについて求め、

$$ X=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{(x_{ij}-a_ib_j/N)^2}{a_ib_j/N} $$

が自由度\((m-1)(n-1)\)のカイ二乗分布に従うことを利用して独立性の検定を行います。

独立性の検定の流れ

それでは実際に独立性の検定を行ってみましょう。

ここからは一般的な仮説検定と同じ手順で検定を行っていきます。

独立性の検定において、帰無仮説\(H_0\)および対立仮説\(H_1\)はそれぞれ以下のようになります。

• 帰無仮説\(H_0\)：2つの性質は独立である
• 対立仮説\(H_1\)：2つの性質は独立ではない

今回の場合、帰無仮説\(H_0\)は『性別と喫煙状況は独立である』と言い換えることができます。

帰無仮説を真とするため、性別と喫煙状況が独立であるとして進めていきます。

先ほど述べた通り、

$$ X=\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{(x_{ij}-a_ib_j/N)^2}{a_ib_j/N} $$

で表される\(X\)は自由度1(\(=(m-1)(n-1)\))のカイ二乗分布に従うとみなすことができます。

今回は問題文で、有意水準αが

$$ \alpha = 0.01 $$

と定められています。

実際の業務や研究で行う場合は、データ数や状況に応じて適切に設定しましょう。

独立性の検定の場合、2つの性質が完全に独立であるとき\(X=0\)となり、関連があるほど\(X\)の値は大きくなります。

よって、片側検定を行うことになります。

自由度1のカイ二乗分布における上側1%の点を調べると、

$$ k=6.63 $$

と分かります。

よって、棄却域は

$$ X \geq 6.63 $$

となります。

標本データより、

\begin{align*}
X &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} \frac{(x_{ij}-a_ib_j/N)^2}{a_ib_j/N} \\
&= \frac{(78-170 \cdot 117 / 333)^2}{170 \cdot 117 / 333} +
\frac{(92-170 \cdot 216 / 333)^2}{170 \cdot 216 / 333} +
\frac{(39-163 \cdot 117 / 333)^2}{163 \cdot 117 / 333} +
\frac{(124-163 \cdot 216 / 333)^2}{163 \cdot 216 / 333} \\
&= 17.60\dots
\end{align*}

であり、これは6.63より大きい値になっています。

よって帰無仮説を棄却し、有意水準1%のもとで

『性別と喫煙状況は独立である(関連がない)とは言えない』

という結論が得られました。

【分散分析】平均に差はある？｜考え方・手順を分かりやすく解説前のページ|次のページ 連載講座「0から学ぶ確率統計」では、中学数学の基本的な内容から大学レベルの確率統計を解説しています...